Навигация
 
австрия - автомот
<< В начало < Предыдущая Следующая > В конец >>

АВТОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ

(от авто... и греч. morphe - вид) (матем.), аналитическая функция, значения к-рой не изменяются, если её аргумент подвергается нек-рым дробно линейным преобразованиям. К А. ф. относятся периодич. функции и, в частности, эллиптические функции.

Так, напр., если указанные преобразования - целые и имеют вид:0110-2.jpg где 0110-3.jpg - комплексное число, отличное от нуля, то получаются А. ф., характеризуемые ур-нием0110-4.jpg т. е. периодич. функции с периодом0110-5.jpg. В этом примере преобразованием, не изменяющим функции, является сдвиг плоскости на вектор со. Очевидно, что тот же сдвиг, повторённый сколько угодно раз, также не изменяет функции. В результате получается группа линейных

0110-6.jpg область, к-рая каждым из этих преобразований отражается сама на себя. Тогда функция f, однозначная и аналитическая в области G, является А. ф. (по отношению к данной группе Г), если 0110-7.jpg0110-8.jpg . Наиболее важен случай, когда G есть круг или полуплоскость. Такую область можно рассматривать как изображение плоскости Лобачевского (см. Лобачевского геометрия), а преобразования группы Г - как движения в плоскости Лобачевского. Соответствующие А. ф. можно рассматривать как такое обобщение периодич. функций, при к-ром сдвиги в евклидовой плоскости заменены движениями в плоскости Лобачевского. Эта точка зрения, развитая А. Пуанкаре, обеспечила успех в построении общей теории А. ф. (до А. Пуанкаре существенные результаты теории А. ф. получены Ф. Клейном). Вообще, вся теория А. ф., в её совр. состоянии, представляет замечат. пример плодотворности геом. идей Н. И. Лобачевского в их применении к задачам математич. анализа и теории функций.

К общим А. ф., помимо вопросов конформного отображения, приводит также теория линейных дифференциальных уравнений, изучение алгебр, кривых порядка выше четвёртого (см. Алгебраическая геометрия), решение алгебр, ур-ний (напр., решение общего ур-ния пятой степени с одним неизвестным получается посредством А. ф.) и т. д.

Лит.: Форд Л. Р., Автоморфные функции, пер. с англ., М.- Л., 1936; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии, пер. с нем., ч. 1, М.- Л., 1937, гл. 8; Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд.,М. -Л., 1950; его же, Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции, М., 1961.



 
Большая советская энциклопедия
  [ АННОТАЦИЯ]   [а-абон]   [аборд-авар]   [авач-австрич]   австрия - автомот   [автомут-аграм]   [агран-аджз]   [аджи-азер]   [азеф-айя]   [ака-акоп]   [акост-акур]   [акус-алейж]   [алейк-ален]   [алеп-алле]   [алли-альбен]   [альбер-альп]   [альт-амап]   [амар-амим]   [амин-амуд]   [амул-анан]   [анап-андез]   [андер-анип]   [анис-антен]   [антер-антон]   [антоф-апел]   [апен-апшер]   [ар-аргум]   [аргун-аркт]   [арл-арсен]   [арсин-арха]   [архе-аса]   [асб-ассиз]   [ассим-астроп]   [астрос-атол]   [атом-афил]   [афин-ацет]   [ацид-аяч]